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Introduction aux phénomènes de transfert
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TF11

III. Transfert de chaleur

A. Généralités sur le transport et le transfert de l'énergie thermique.

De tous temps, les problèmes de transmission d'énergie, et en particulier de la chaleur, ont eu une importance déterminante pour l'étude et le fonctionnement d'appareils tels que les générateurs de vapeur, les fours, les échangeurs, les évaporateurs, les condenseurs, etc., mais aussi pour des opérations de transformations chimiques.

En effet, dans certains systèmes réactionnels, c'est la vitesse des échanges de chaleur et non la vitesse des réactions chimiques qui détermine le coût de l'opération (cas de réactions fortement endo- ou exothermique). En outre, de nos jours, par suite de l'accroissement relatif du prix de revient de l'énergie, on recherche dans tous les cas à obtenir le rendement maximal d'une installation pour une dépense d'énergie minimale.

Les problèmes de transfert de chaleur sont nombreux, et on peut essayer de les différencier par les buts poursuivis dont les principaux sont :

Le potentiel qui provoque le transport et le transfert de l'énergie thermique est la température. Si deux points matériels placés dans un milieu thermiquement isolé sont à la même température, on peut affirmer qu'il n'existe aucun échange thermique global entre ces deux points dits en équilibre thermique (il s'agit bien d'un équilibre thermique car chacun des points matériels émet une énergie thermique nette de même module, mais de signe opposé).

Le transfert de chaleur au sein d'une phase ou, plus généralement, entre deux phases, se fait de trois façons :

a) Par conduction.

Ce transport de chaleur se produit au sein d'une même phase - au repos ou mobile, mais tranquille (absence de remous) - en présence d'un gradient de température. Le transfert de chaleur résulte d'un transfert d'énergie cinétique d'une molécule à une autre molécule adjacente. Ce mode de transfert est le seul à exister dans un solide opaque. Pour les solides transparents, une partie de l'énergie peut être transmise par rayonnement. Avec les fluides que sont les gaz et les liquides, la convection et le rayonnement peuvent se superposer à la conduction.

b) Par convection.

Le transfert de chaleur par convection se produit entre deux phases dont l'une est généralement au repos et l'autre en mouvement en présence d'un gradient de température. Par suite de l'existence du transfert de chaleur d'une phase à l'autre, il existe dans la phase mobile des fractions du fluide (ou agrégats) ayant des températures différentes. Le mouvement du fluide peut résulter de la différence de masse volumique due aux différences de températures (on parle alors de convection libre ou naturelle) ou à des moyens purement mécaniques (on parle alors de convection forcée).

Lorsqu'un fluide est en écoulement, une partie du transfert de chaleur dans le fluide se fait également par conduction et, dans le cas d'un fluide transparent, un transfert de chaleur par rayonnement peut accompagner les deux transferts précédents.

c) Par rayonnement.

Un point matériel chauffé émet un rayonnement électromagnétique dans toutes les directions situées d'un même côté du plan tangent au point matériel. Lorsque ce rayonnement frappe un corps quelconque, une partie peut être réfléchie, une autre transmise à travers le corps (dit diathermique si tout est transmis), et le reste est quantitativement absorbé sous forme de chaleur. Si on place dans une enceinte deux corps capables d'émettre un rayonnement thermique, il existe entre ces deux corps à températures différentes un échange de chaleur dû à l'absorption et à l'émission de ces rayonnements thermiques. Cet échange de chaleur est désigné habituellement sous le nom de rayonnement. Les transferts par rayonnement se poursuivent même lorsque l'équilibre thermique est atteint, mais le débit net de chaleur échangé est nul. Ce type de transport de chaleur est analogue à la propagation de la lumière, et il ne nécessite aucun support matériel, contrairement aux écoulements. Les gaz, les liquides et les solides sont capables d'émettre et d'absorber les rayonnements thermiques.

Dans de nombreux problèmes de transformation d'énergie thermique, les trois modes de transfert de chaleur coexisteront mais, généralement, au moins une des trois formes pourra être négligée, ce qui simplifiera le traitement mathématique de l'appareil de transfert. Nous pouvons dire dès à présent, qu'aux températures ordinaires, le transport par rayonnement est négligeable, mais il peut devenir notable et prépondérant lorsque le niveau de température augmente.

En outre, signalons que certains transferts thermiques sont accompagnés d'un transfert de matière entre deux phases. Le flux de chaleur transféré en présence d'un changement de phase dépend de la nature et des propriétés physico-chimiques des phases en présence. C'est le cas de l'ébullition, de la condensation, mais aussi des problèmes d'humidification, de séchage, de cristallisation, etc.

Dans ce qui suit nous allons présenter, pour les trois types de transport de la chaleur, les lois générales qui les gouvernent. Puis nous traiterons, de manière simple, quelques applications où le mode de transport de chaleur étudié est prédominant.

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B. Transfert de chaleur par conduction.

1. Introduction - Loi de Fourier

Le transfert de la chaleur par conduction est un transport de chaleur dans un milieu immobile ou mobile sans remous turbulent. Ce mode de transport de la chaleur est le seul à exister au sein d'un solide opaque, aussi la conduction concerne essentiellement les solides. Dans les liquides et les gaz 1e transport de la chaleur par conduction est très souvent négligeable devant les deux autres types de transport de la chaleur.

Le flux de chaleur (dimension W/m2) transféré par conduction dans une direction donnée est proportionnel au gradient de température dans cette direction. Cette loi, dite de Fourier, est donc telle que la composante sur l'axe Ox du flux est égale à :

(1)

x est la composante du flux sur l'axe Ox et T la température au point considéré. Dans cette loi, postulée dès 1822 par Fourier, le coefficient de proportionnalité est une caractéristique physico-chimique du point matériel désignée sous le nom de conductivité ou conductibilité thermique. Dans le système international, elle s'exprime en W/m.K.

Dans le tableau 1, sont reportées les conductivités de quelques corps solides, liquides et gazeux. D'une façon générale, les métaux sont beaucoup plus conducteurs de la chaleur que les substances non métalliques. Les gaz sont plutôt mauvais conducteurs : le caractère isolant de la laine de verre est dû à la présence de l'air emprisonné entre les fibres.

Tableau 1
Matériau (W/m/K) Matériau (W/m/K)
Argent 419 Grès 1,8
Cuivre 386 Verre 0,78
Aluminium 204 Chêne 0,17
Fer (pur) 73 Laine de verre 0,038
Acier Inox 16 Eau 0,556
Mercure 8,2 Air 0,0262

On trouvera d'autres valeurs dans le Handbook of Chemistry and Physics.

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2. Équation générale du bilan de transfert de chaleur par conduction dans un milieu immobile.

Soit un élément matériel de volume élémentaire dxdydz :

Nous devons appliquer à ce système élémentaire le bilan d'énergie en régime transitoire.

Le milieu solide étant soumis à des gradients de température, l'énergie interne du point matériel va varier. Le système étant immobile, son énergie cinétique est nulle, et les variations d'énergie potentielle sont négligeables. En fait, on se limite aux variations d'énergie interne et ceci restera valable même dans le cas où le système considéré est ouvert. Dans ces conditions, le bilan énergie s'écrit :

(2)

U est l'énergie interne par unité de masse dq et dWS sont les débits

élémentaires de chaleur et de travail fournis par le milieu extérieur au système.

Le débit élémentaire de travail d'origine mécanique est généralement nul. Le débit de chaleur dq se compose d'une part de la chaleur fournie par le milieu extérieur au système par conduction, soit dqc, et d'autre part de la chaleur engendrée à l'intérieur du volume élémentaire (effet joule, champ électromagnétique, bombardement électronique, etc.) soit dqe.

dqc = div · dxdydz et dqe = qe · dxdydz

Le flux de chaleur par conduction s'écrit, de manière générale, -l ·  gradT, et qe est le débit de chaleur engendré par unité de volume.

or : div = div(-l· gradT) = -l· div(gradT) = -l· 2 T

avec

L'équation (2) devient :

soit :

(3)

avec CP capacité calorifique massique et qe débit de chaleur engendré par unité de volume.

Les grandeurs physico-chimiques l, r, CP sont supposées être, d'une part indépendantes de la température, et d'autre part, identiques dans tout le volume du solide (milieu à la fois homogène et isotrope).

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3. Exemples d'applications.

a) Problème du mur plan en régime stationnaire.

Soit un mur d'épaisseur e dont les deux faces planes sont maintenues aux températures constantes T1 et T2 . Si est la conductibilité thermique du matériau constituant le mur, la loi de Fourier nous permet d'écrire, suivant x, direction normale à la surface du mur :

Dans une section droite , le débit de chaleur transféré entre les deux faces planes du mur est donc : F = j· W. En régime stationnaire, et en l'absence de source interne, le débit de chaleur transféré est constant, ainsi donc que le flux. On peut donc intégrer l'équation différentielle à variables séparées :

d'où : (4)

soit :

Il est facile de généraliser ce résultat à un mur composite multicouches :


Si les faces extérieures de ce mur composite sont maintenues aux températures constantes T1 et T4, en régime stationnaire, et en l'absence de source interne, le débit de chaleur transféré est constant.

pour i = 1, 2, 3



(5)

On vérifiera aisément que les différentes valeurs correspondent à des résistances thermiques qui, placées en série, s'additionnent comme les résistances électriques.

b) Problème de la conduite cylindrique en régime stationnaire.

Soit une conduite cylindrique de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2. La paroi interne du tube est à température T1 et la paroi externe à T2 . Si la longueur de la conduite est grande par rapport à son diamètre, le débit de chaleur transféré par conduction dans le tube est radial. Pour une conduite de longueur L, en l'absence de source de chaleur interne, le débit de chaleur transféré par conduction sur une surface cylindrique comprise entre la surface interne et la surface externe est constant. Soit Fce débit.

(6)

Cette dernière relation peut s'écrire, en introduisant e = R2 - R1 :

La quantité est appelée moyenne logarithmique des surfaces S1 et S2.

Le raisonnement développé pour le mur composite peut être reproduit pour la conduite gainée multicouches, à condition de remplacer W par les moyennes logarithmiques respectives :

(7)

On retrouve les résistances thermiques qui, placées en série, s'additionnent : .

c) Problème de la conduite cylindrique recouverte d'un manchon isolant.

Dans les problèmes concrets, la conduite se trouve généralement plongée dans un fluide, de température TF et il se produit alors un transfert de chaleur par convection entre la surface externe du manchon isolant et le fluide.

Soient Ri et Re les rayons intérieur et extérieur du tube, l sa conductivité thermique. On ajoute un manchon concentrique qui l'enveloppe, d'épaisseur eet de conductivité lm . On suppose que la température du fluide extérieur est inférieure aux températures intérieures, et que le débit de chaleur est donc dirigé vers l'extérieur. On se propose d'étudier l'incidence de l'épaisseur du manchon isolant sur les pertes de chaleur.

Le débit de chaleur transféré est donné par la formule (6), pour le tube et pour le manchon :

Ainsi qu'il sera vu plus loin, on peut écrire que le débit de chaleur transféré par convection est :

Des trois expressions du débit on déduit que :

ou encore :

(8)

La résistance thermique est la somme de deux résistances de conduction et d'une résistance de convection. La présence d'un isolant augmente la résistance de conduction, ce qui est souhaité, mais diminue la résistance de convection, ce qui l'est moins.

Calculons la dérivée de Fpar rapport à e, qui devrait logiquement être négative :

(9)

On voit que cette dérivée est susceptible d'être positive dans certaines conditions. En effet, si , la dérivée est toujours négative (le crochet de droite est toujours positif), quel que soit e, et l'augmentation de l'épaisseur d'isolant réduit le débit de chaleur, et donc les pertes.

Par contre, si il existe une valeur pour laquelle le débit est maximal. Lorsque l'épaisseur varie de 0 à emin, la dérivée est positive, et le débit augmente. En clair, les pertes thermiques sont plus importantes qu'en l'absence d'isolant quand e < emin.

La condition est d'autant plus facile à vérifier que le diamètre du tube cylindrique est grand.

En revanche, pour des tubes de petit diamètre, une épaisseur d'isolant insuffisante peut, dans certains cas, accroître les pertes thermiques avec le milieu extérieur, ce qui va à l'encontre du but recherché. Aucune règle préétablie ne permet de prévoir ce cas a priori!

d) Problème à symétrie sphérique.

Soit une armature sphérique de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2. La paroi interne est à température T1 et la paroi externe à T2 . On suppose que le débit de chaleur transféré par conduction dans la couche sphérique est radial. En l'absence de source de chaleur interne, le débit de chaleur transféré par conduction sur une surface sphérique comprise entre la surface interne et la surface externe est constant. Soit Fce débit.

(10)

Plus généralement, lorsqu'il y a plusieurs couches :

On pourra, à titre d'exercice, se demander si, comme dans le cas de la conduite cylindrique, il existerait des cas où une épaisseur d'isolant trop faible pourrait entraîner une perte de chaleur supérieure à la perte subie en l'absence d'isolant.

e) Problème de l'ailette.

L'ailette a pour fonction d'amplifier les échanges de chaleur entre un mur plan et un fluide extérieur. Le transfert entre l'ailette et le mur se fait par conduction, alors que les échanges avec le fluide extérieur ont lieu par convection.

Un exemple très contemporain de ce type d'application est le refroidissement des microprocesseurs modernes, dont la tendance à l'échauffement est combattue par un abaissement de la tension de fonctionnement, d'une part, et par des radiateurs à ailettes, d'autre part.

Considérons une ailette d'épaisseur e, de longueur L, de largeur H. L'épaisseur est supposée être petite par rapport à la longueur et la largeur. On néglige toutes les variations de température sur une section droite de l'ailette, et on suppose que T est fonction de la seule distance x par rapport au mur.

On pose :

TF température de l'air

T0 température du mur, et donc de l'ailette en x=0

conductivité thermique de l'ailette

h coefficient d'échange moyen entre l'ailette et l'air

Considérons le petit volume en forme de parallélépipède de largeur H, d'épaisseur e et de longueur dx :
  • Il reçoit de la chaleur par conduction, du côté du mur, sur une surface W = H · e.
  • Il cède de la chaleur par conduction par la face opposée, sur la même surface W.
  • Il cède de la chaleur par convection sur une surface S = P · dx où P = 2(H+e) est le périmètre.

Sur ce petit volume, le bilan thermique va s'écrire :


Or :

Ce qui donne :

(11)

Remarquons que l'expression a la dimension L2. Posons :

L'équation (11) devient finalement :

(12)

Notons que q a la dimension d'une température, alors que X est sans dimension.

La solution de l'équation différentielle du second ordre est du type :

= A · ch(X) + B · sh(X)

On détermine A et B à partir des conditions aux limites :

x = 0 donne X = 0 et = T0 - TF = 0 donc A = 0

x = L donne X = L / D et d / dX = 0 (en négligeant la transmission de chaleur en bout d'ailette) soit : 0 · sh(L / D) + B · ch(L / D) = 0

La distribution de température s'écrit alors :

(13)

(14)

L'écoulement de chaleur à l'intérieur de l'ailette, pour x=0 est donné par :

Le rendement d'une ailette est défini comme étant le rapport entre la chaleur réellement transmise à travers l'ailette et la chaleur qui serait transmise par convection ou rayonnement à partir de la surface de base de la tige, si l'ailette était supprimée.

(15)

ou encore, en remarquant que (e << H) :

(16)

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MH
Mis en ligne le 02/02/1998
Modifié le 22/05/2006
© Michel Houdé
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