Compte rendu NF04

 

 

Modélisation numérique d’une guitare acoustique

 

 

 

 


 

 

SOMMAIRE

 

 

1.      Présentation du sujet ……………………………………………………………………………   3

 

a.     Objectif……………………………………………………………………………………    3

 

b.     Présentation de l’instrument……………………………………………………………   3

 

c.       Principe de fonctionnement d’une guitare……………………………………………   4

 

d.      Domaine de définition de l’étude………………………………………………………   4

 

 

2.      Partie théorique……………………………………………………………………………………  5

 

a.      Forme forte du problème………………………………………………………………… 5

 

b.      Conditions aux limites……………………………………………………………………  5

 

c.       Forme faible du problème………………………………………………………………   6

 

d.      Discrétisation de la forme faible et assemblage……………………………………… 7

 

e.       Analyse modale……………………………………………………………………………  8

 

 

3.      Partie pratique……………………………………………………………………………………    9

 

a.      Maillage……………………………………………………………………………………   9

 

b.      Présentation des résultats………………………………………………………………   9

 

c.       Interprétation des résultats……………………………………………………………… 12

 

d.      Comparaison avec les fréquences musicales…………………………………………   13

 

 

4.      Conclusion…………………………………………………………………………………………   13


 

1. PRESENTATION DU SUJET

 

a. Objectif

 

L'objectif de ce travail est de déterminer à l'aide d'outils numériques adaptés, les modes de réponse du champ de pression acoustique dans la caisse de résonance d’une guitare acoustique de parois en bois (matériaux orthotrope : matériau élastique homogène présentant en tout point 2 symétries du comportement mécanique chacune par rapport à 1 plan, les 2 plans étant orthogonaux® incidence sur l’acoustique et les vibrations du système) et de corréler ces résultats avec des mesures acoustiques spectrales.

 

La guitare modélisée est une guitare électroacoustique Takamine EN-20 (model Jumbo).

 

Le modèle numérique est basé sur la méthode des éléments finis. L'approche retenue est une analyse modale, à savoir la détermination des modes propres (valeurs et vecteurs propres) d'un système dynamique homogène (sans second membre). L'élément utilisé est un élément fini triangulaire.

 

 

b. Présentation de l’instrument

 

La caisse de la guitare est composée :

 

-         D’une table d’harmonie : une fine plaque de bois avec un trou appelé « la rose » par lequel sort le son amplifié de la guitare.

-         Des bords que l’on appelle des éclisses.

-         Du fond qui est dans un bois un peu plus dur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


A l’intérieur de la guitare, la table d’harmonie est raidie par des baguettes de bois dur formant le « barrage », dont l’utilité est de résister à la tension des six cordes. Néanmoins ce système à une incidence directe sur la fréquence et sur la forme des modes de la table d’harmonie, mais cela n’entre pas dans le propos de ce travail.

 

Les six cordes sont d’une part fixées à l’extrémité supérieure du manche (appelée le sillet) et d’autre part fixées au chevalet qui est lui-même collé sur la table d’harmonie.

 

Les six notes à vide sont de la plus grave (corde n° 6 aussi appelée le « bourdon ») à la plus aigue (corde n°1 appelée la « chanterelle »)  le  Mi (82.5 Hz),  La (110 Hz),  Ré (147 Hz),  Sol (196 Hz),  Si (247 Hz), Mi (330 Hz). La note la plus aigue est un Si (988 Hz).


 

c. Principe de fonctionnement d’une guitare

 

La corde qui est pincée est la source sonore, mais son diamètre est si petit qu’elle rayonne très inefficacement dans l’air et le son en est pratiquement inaudible. Le principe de cet instrument de musique à corde pincée est d’amplifier le son de la corde à l’aide d’un mécanisme acoustique.

 

Les cordes sont couplées via le chevalet à la table d’harmonie, dont la large surface va rayonner beaucoup plus efficacement avec l’air, formant une onde avant et une onde arrière. L’onde arrière de la guitare est en faite enfermée dans la caisse de résonance et la cavité percée d’un trou joue le rôle d’un résonateur de Helmholtz, amplificateur acoustique notamment pour les basses fréquences.

 

 

 

 

 

 

 

 


                        Corde                                     Corde + table                        Corde + table + caisse

 

La guitare est donc un assemblage de sous-structures élémentaires couplées les unes aux autres. Dans notre étude, nous nous focaliserons uniquement sur la partie acoustique de la caisse de résonance. Le mécanisme précis de fonctionnement de cet instrument reste encore un sujet de recherche

 

 

d. Domaine de définition de l’étude

 

Afin de simplifier le modèle sans toutefois nuire à l'intérêt de l'étude, les hypothèses suivantes sont considérées :

 

Approche bidimensionnelle

On va supposer que la caisse de la guitare est infiniment mince, l'acoustique étant par nature 3D, cette simplification vise essentiellement à réduire les dimensions du problème discret à résoudre.

 

Absence de couplage fluide-structure

Aucune étude de couplage vibro-acoustique n'est ici envisagée. Dans la réalité, ce couplage traduit l'interaction permanente entre le fluide interne et les parois de la caisse de résonance. La prise en compte du matériau est réalisée par l'intégration de conditions aux limites et non par un calcul couplant l’interaction entre la pression acoustique avec la déformation des parois.

 

Analyse modale

Nous supposerons que le fluide est proche de l'état repos, interdisant ainsi toute circulation d'air avec l’extérieur. Les équations régissant le phénomène sont à l'ordre deux en temps. L’analyse modale est une approche qualitative qui consiste à modifier le système algébrique en un problème aux valeurs propres permettant de déterminer l'ensemble des fréquences et modes propres de réponse de la cavité.


 

2. PARTIE THEORIQUE

 

a. Forme forte du problème

 

Le champ de pression acoustique est régi d'après l'équation suivante :

 

                             (1)

 

P(x,y,t) est le champ de pression acoustique en tout point (x, y) du domaine S et à l'instant t, c étant la célérité du son. L'opérateur Laplacien est défini d'après :

 

L’équation (1) (ou forme forte) est applicable en tout point du domaine S.

 

Contour C

 

Domaine S

 

Domaine de calcul

 

b. Conditions aux limites

 

Les conditions aux limites sont de type Cauchy et s’appliquent sur tout le contour C du domaine S.

 

              

 

avec  et  (Zc est l’impédance caractéristique du milieu)

On va considérer 2 contextes aux limites :

 

-         Contexte n°1 : Paroi rigide avec réflexion totale des parois

 

Cette première condition vise à considérer que les parois de la caisse sont infiniment dense et par le fait réfléchissent totalement les ondes acoustiques dans la caisse. Cette hypothèse va nous permettre de déterminer les fréquences et les modes propres de la cavité d’air sans tenir compte des propriétés orthotropes du bois.

 

            

-         Contexte n°2 : Paroi avec absorption

 

Cette seconde condition vise à considérer l’impédance caractéristique Zc du bois afin d’introduire les effets d’absorption acoustique induits par les propriétés du bois indiquées dans le tableau suivant. Cette hypothèse va nous permettre de corréler plus réellement les résultats obtenus avec les cordes à vide.

 

              

 

à 20°C nous avons

 (m.s-1)

r (kg.m-3)

 (kg.m-2.s-1)

Air

343

1,2

413

Bois (épicéa tendre)

4800

320

1536000

Bois (épicéa dur)

6200

420

2604000

 

 

c. Forme faible du problème

 

Le calcul de la forme faible W est basé sur la méthode des résidus pondérés, qui fait intervenir une fonction de pondération  quelconque.

 

 

Après IPP, nous obtenons :

 

 

dS Û intégration sur le domaine S.

dC Û intégration sur le contour C.

 

 

Dans le contexte n°1 on prend  et dans le contexte n°2 on prendra .


 

d. Discrétisation de la forme faible

 

Le système étant ramené à un problème spatial à 2 dimensions, il est naturel de choisir des éléments triangulaires T3 à approximation linéaire pour la discrétisation surfacique en élément finis du domaine S. Ce choix est d’autant plus préconisé que l’objet à modéliser se distingue par une géométrie curviligne complexe. Le contour C du domaine S est quant à lui discrétisé par des éléments barre L2.

 

Le découpage du domaine de calcul conduit à un découpage élémentaire de la forme faible W :

 

 

Ae : surface de l’élément triangle T3.

Le : longueur de l’élément barre L2.

nelt : nombre d’éléments T3.

neltC : nombre d’éléments L2.

 

 

La matrice masse élémentaire de l'élément T3 est définie par :

 

 

Les matrices de rigidité élémentaires pour les deux types d'éléments sont définies par :

 

                      et                        

 

La matrice des gradients est définie par :

 

 

 

L'assemblage des contributions de l'ensemble des éléments du domaine, nous permets d’obtenir la matrice de masse globale et la matrice de rigidité globale telles que :

 

                                                  (2)


 

e. Analyse modale

 

On ne raisonne plus dans le domaine temporel, mais dans le domaine spectrale. Nous allons déterminer les fréquences et les modes propres de la caisse de résonance de la guitare modélisée. Il s'agit de ramener l'étude à un problème classique aux valeurs propres. La solution est alors décomposée au sens de Fourier telle que :

 

                                             (3)

 

w : la pulsation exprimée en rad/s.

 : vecteur propre associé.

 

                                                   (4)

 

On injecte les expressions (3) et (4) dans l’équation (2) et on obtient après simplification :

 

En posant on obtient

 

 

soit

 

La recherche de solutions se traduit alors par :

 

 

Les vecteurs {Po} sont déterminés à une constante près et ne peuvent donc être interprétés que de manière qualitative et non quantitative.

 

On obtient ainsi autant de valeurs propres que d’éléments, et pour chaque valeur propre correspondant donc à une fréquence naturelle de la caisse, on détermine la valeur normalisée des vecteurs propres correspondant à l’intensité de la pression pour chaque élément à la fréquence du mode propre considéré.

 

Les vecteurs propres sont normalisée par rapport à la matrice de masse globale :

 

 

La fréquence naturelle relative à la valeur propre l est définie par :

 


 

2. PARTIE PRATIQUE

 

a. Maillage

 

Le maillage retenu a les caractéristiques suivantes :

 

936 éléments triangulaires à 3 noeuds : T3 ;

116 éléments barre à deux noeuds pour les parois : L2 ;

469 noeuds.

 

Les éléments triangulaires ont une longueur moyenne du côté de 2 cm. En rouge, figurent les éléments de type barre à deux noeuds pour la prise en compte des conditions aux limites de type Cauchy.

 

Le maillage a été généré par un « mailleur » qui utilise une technique de propagation de front.

 

 

b. Présentation des résultats

 

Les résultats sont présentés de façon à pouvoir comparer les deux contextes. La colonne de gauche présente les résultats correspondant au contexte n°1 (parois rigides et infiniment denses). En regard sur la droite, sont présentés les résultats considérant un coefficient d’absorption égale à 0,1 (condition de Cauchy aux limites). Il est préconisé d’adopter un coefficient d’autant plus faible que la guitare vieillit, car le bois a tendance à ce lisser avec le temps diminuant son pouvoir d’absorption.

 

Pour ce faire, le vecteur vprel du fichier data_acous.m a été configuré de la manière suivante :

 

Parois rigides : vprel=[1 343^2 0 0 0 0]

 

Parois absorbantes : vprel=[1 343^2 0 0 0.1 0]



Mode 2

Mode 3

Mode 4 

Mode 5


Mode 2

Mode 3

Mode 4

Mode 5


 

Mode 6

Mode 7


 

Mode 6

Mode 7

 


 

On définit clairement des zones de maxima (en rouge) et des zones de minima (en bleu) qui laissent préjuger que les oscillations de pression acoustique seront entretenues par résonance de la caisse à la fréquence modale correspondante.

 

Au-delà du 7ième mode, les modes propres existant laissent préjuger que la caisse va amplifier les fréquences supérieures à 892 Hz c’est à dire les harmoniques des notes jouées qui donnent à la guitare son identité spectrale (son timbre). Bien que les hautes fréquences soient majoritairement produites et directement amplifiées par la table d’harmonie la caisse contribue aussi à leur amplification.

Mode 15

En revanche la condition aux limites ne semble pas porter d’incidence significative.


 

            c. Interprétation des résultats

 

Un mode est composé d'un 'patchwork' de cellules acoustiques représentées par des zones de surpressions relatives (zones rouges) et de dépressions (zones bleues). L'évolution du champ de pression au cours du temps dans le cas d'un seul mode, est donnée d'après la relation (seule la partie imaginaire est ici retenue par soucis de simplification) :

 

 

avec T (en secondes), la période associée à la fréquence du mode définie par :

 

 

En la réalité, il faudrait adjoindre à ce phénomène périodique, un terme d’amortissement caractéristique de l’affaiblissement lié à la propagation du son dans l’air (pertes par effet Joule) ; par exemple une exponentielle décroissante.

 

Les zones intermédiaires (zones vertes et jaunes) sont également animés du même battement mais avec une pression relative n’engendrant que de faibles surpressions et dépressions. Ces zones de la guitare répondent peu au mode considéré.

 

 

Le tableau suivant reprend les sept premiers modes propres de la caisse de résonance. On associe à chaque fréquence propre, la longueur d’onde (en mètre) et la demi-longueur d’onde définie par :

 

 .

 

Mode propre

2

3

4

5

6

7

Fréquence propre (Hz)

329

478

661

674

865

892

Longueur d'onde (m)

1,04

0,72

0,52

0,51

0,40

0,38

Demi longueur d'onde (m)

0,52

0,36

0,26

0,25

0,20

0,19

 

On constate que les ½ longueurs d’onde représentent la distance entre les centres de gravité des zones de surpressions et de dépressions respectives localisables visuellement sur les courbes.

 

Concernant la position de la rose, on s’aperçoit que sa position favorise principalement l’émission acoustique du mode 2.


 

            d. Comparaison avec les fréquences musicales

 

Le tableau suivant présente fréquences musicales de la guitare de la note la plus grave Mi2 à la note la plus aigue Si5, afin de les comparer aux modes propres de la caisse.

 

 

Notes et fréquences en Hz selon l'octave (mode propre correspondant)

Octave

Mi

Fa

Sol

La

Si

Do

2

82,5

87

98

110

123,5

130,8

147

3

165

175

196

220

247

261,6

294

4

330 (2)

349 (2)

392

440 (3)

494 (3)

523,2

588

5

660 (4)

698 (5)

784

880 (6-7)

988

-

-

 

Les fréquences en gras surlignées sont les fréquences des six notes cordes à vide.

 

On constate que :

 

-         Le mode 2 contribue fortement à la résonance du Mi4 et probablement à celle du  Fa4.

-         Le mode 3 contribue à la résonance du La4 et du Si4.

-         Le mode 4 contribue à la résonance du Mi5.

-         Le mode 5 contribue à la résonance du Fa5.

-         Les modes 6 et 7 contribuent à la résonance du La5.

 

Ces premières constatations permettent de corréler la bande passante du résonateur d’Helmholtz (la caisse de résonance) avec certaines fréquences musicales ; les 2 bandes passantes se superposent efficacement. De plus il ne faut pas manquer de considérer que les harmoniques de plus hautes fréquences sont également entretenues par ce système d’amplification mais à des modes plus élevés. Toutefois, la caisse de résonance sera plus efficace quand à l’amplification des notes basses.

 

4. Conclusion

 

La méthode par éléments finis a permis de modéliser une structure acoustique complexe : la caisse de résonance d’une guitare. Bien que le problème aie été réduit à un système 2D, cette modélisation associée à une analyse modale a permis de vérifier la pertinence de la forme de la structure quant au domaine spectrale attendu du résonateur et celui des cordes vibrantes générant le son des notes dans l’air.

 

Une continuation de ce travail serait la modélisation de la table d’harmonie en vue de corréler son efficacité acoustique avec l’efficacité de la caisse de résonance précédemment vérifiée.