Fréquences des notes de la gamme : fiche professeur

Cette activité a été conduite en classe de seconde, mais peut l'être également dans le cadre de l'option I.E.S.P.
En seconde, elle illustre la partie notion de gamme du programme
.
En seconde comme en I.E.S.P., elle permet la prise en main d'un tableur.

    Introduction

    Bulletin officiel

    Bibliographie sommaire

    Prérequis

    Objectifs de la séance

    Déroulement de la séance

    Quelques définitions

    Pour en savoir plus 

 

Introduction :

Cette activité est née de la curiosité de savoir comment étaient calculées les fréquences des notes indiquées dans le livre de seconde des éditions Hatier à la fin du chapitre Acoustique. La musique européenne étant fondée sur la notion d'harmonie, c'est à dire des rapports simples entre les fréquences des sons, comment expliquer que cela ne soit pas le cas pour les valeurs des fréquences fournies par le livre. Cette séance peut donc permettre de comprendre le travail réalisé par Jean-Sébastien BACH pour promouvoir la gamme tempérée, notamment par les pièces du Clavier bien tempéré.

Bulletin officiel:

2.3 "Éléments d'acoustique musicale"

"Propagation rectiligne, réflexion et éventuellement diffraction des ondes ultrasonores. Analogies et différences avec le domaine audible."
"À l'aide de l'ordinateur : la somme de fonctions sinusoïdales de fréquences N, 2N, 3N... est une fonction périodique de fréquence N".
"Principe du synthétiseur. Exploitation de documents comparant les sons émis par différents instruments de musique : timbre et tessiture."
- "Calculer une vitesse de propagation, une période, une fréquence, une longueur d'onde, connaissant les valeurs des autres grandeurs" que l'on remplacera par "vérifier expérimentalement que la longueur d'onde est égale au produit de la vitesse de propagation par la période".
- "La loi de réflexion pour les ultrasons".
- "Le principe du sonar. Le rôle de la réflexion et de l'absorption dans l'imagerie par échographie" (on se limitera à mentionner que le sonar et l'échographie utilisent l'émission et la réflexion d'ondes sonores).
- "Qu'un son émis par un instrument est périodique, rarement sinusoïdal. Montrer que deux sons différents de même hauteur ont même fréquence fondamentale : soit en utilisant l'oscilloscope, soit l'ordinateur, ou mieux les deux."
"Il est important de signaler que la vitesse du son est du même ordre de grandeur que la vitesse moyenne des molécules : la description microscopique contribue également à la construction d'une représentation correcte des phénomènes".
"À l'aide de l'ordinateur : un son (par exemple celui d'un synthétiseur) est analysé, le spectre en fréquence donne le fondamental et les harmoniques".

Bibliographie sommaire :

Dans la collection L'UNIVERS DES SCIENCES :

John R. PIERCE, "LE SON MUSICAL, musique, acoustique et informatique", (Pour la science, Belin).

Dans la nouvelle édition, un CD audio accompagne le livre, et contient des exemples de sons.

Prérequis :

Les élèves doivent connaître les notions de fréquence et de spectre en fréquence d'un son.
La familiarisation avec l'utilisation de l'outil informatique peut être utile, afin que la prise en main du tableur soit plus rapide.

Objectifs de la séance :

Objectifs disciplinaires :

   - Savoir sur quelles bases la gamme naturelle a été construite.

   - Comprendre la nécessité de construire une gamme tempérée, pour pouvoir jouer des oeuvres complexes comme celles de Jean-Sébastien BACH par exemple.

Objectifs généraux :

   - Utiliser l'ordinateur (tableur) pour les calculs de fréquences.

Déroulement de la séance :

Document élève :

Le tableau ci-dessous est une image au format GIF, qui peut donc être imprimée indépendamment du reste du document.

Il est également possible de faire travailler les élèves directement avec le tableur, en leur faisant ouvrir la feuille de calcul au format excel 4.0 disponible au téléchargement. Pour une feuille de calcul au format ClarisWorks 5.0 me contacter par mél.

 

Fréquences harmoniques de la note Do2

Dans la gamme naturelle, la note Do2 est associée à la fréquence de 132 Hz. Si on étudie le spectre en fréquence du son émis par un instrument jouant cette note, on remarque plusieurs harmoniques.

Le pic de fréquence 132 Hz représente le fondamental qui généralement correspond à la fréquence de la note jouée.
Le pic de fréquence 264 Hz est aussi un Do, mais celui de l'octave suivante, c'est à dire un Do3.
Le pic de fréquence 396 Hz n'est pas un Do, puisque la fréquence correspond au fondamental multiplié par 3. Il s'agit de la note Sol3, appelée par les musiciens la dominante de la gamme en Do.
Le pic de fréquence 528 Hz est encore un Do, puisque la fréquence est le double de celle d'un Do. Il s'agit donc du Do4.
Le pic de fréquence 660 Hz n'est ni un Do, ni un Sol, puisque la fréquence correspond au fondamental multiplié par 5. Il s'agit de la note Mi4, appelée par les musiciens la médiante, car elle se situe entre le Do et le Sol dans l'accord Majeur Do-Mi-Sol.

Le spectre en fréquence d'un Do permet donc de comprendre que, pour une oreille "européenne", l'accord majeur Do-Mi-Sol soit harmonieux, les trois notes ayant des harmoniques communes.

Il est possible de commencer à compléter le tableau, en faisant simplement remarquer, qu'il suffit de multiplier ou de diviser par deux pour passer d'une octave à une autre. Les calculs pourront être effectués à l'aide d'un tableur.

Do2

Ré2

Mi2

Fa2

Sol2

La2

Si2

Do3

Ré3

Mi3

Fa3

Sol3

La3

Si3

Do4

Ré4

Mi4

Fa4

Sol4

La4

Si4

132
 

165
 

198

220
 

264
 

330
 

396

440
 

528
 

660
 

792

880
 

Fréquences des autres notes de la gamme naturelle en Do Majeur

L'octave est un intervalle représentant 8 notes, et comportant 12 demi-tons. Le rapport de fréquence associé à cet intervalle est 2. Comme indiqué plus haut, pour monter d'une octave il suffit de doubler la fréquence du son.

La quinte est un intervalle représentant 5 notes, et comportant 7 demi-tons, comme l'intervalle Do3-Sol3. Le rapport idéal de fréquence associé à cet intervalle est 3/2. En effet, la fréquence du Do3 étant le double de celle du Do2, et la fréquence du Sol3 étant le triple de celle du Do2, la fréquence du Sol3 est donc égale à celle du Do3 multipliée par 3/2.

A partir de la tonique Do, on peut construire 2 quintes :
Do3 - Sol3 : d'où Sol3 = 3/2 Do3 = 396 Hz
Fa3 - Do4 : d'où Fa3 = 2/3 Do4 = 352 Hz (sous-dominante)

A partir de la dominante Sol, on peut construire 1 nouvelle quinte :
Sol3 - Ré4 : d'où Ré4 = 3/2 Sol3 = 594 Hz (seconde)

A partir de la médiante Mi, on peut construire 2 autres quintes :
Mi3 - Si3 : d'où Si3 = 3/2 Mi3 = 495 Hz (note sensible)
La3 - Mi4 : d'où La3 = 2/3 Mi4 = 440 Hz (sus-dominante)

Les fréquences des 7 notes de la gamme diatonique naturelle en Do Majeur sont ainsi calculées, en considérant des rapports idéaux de fréquences entre les différentes notes. Ces calculs peuvent encore une fois être effectués à l'aide d'un tableur.
On obtient le tableau ci-dessous :

Do2

Ré2

Mi2

Fa2

Sol2

La2

Si2

Do3

Ré3

Mi3

Fa3

Sol3

La3

Si3

Do4

Ré4

Mi4

Fa4

Sol4

La4

Si4

132

148,5

165

176

198

220

247,5

264

297

330

352

396

440

495

528

594

660

704

792

880

990

Défaut de la gamme naturelle

Avec les notes de la gamme en Do, on ne peut construire que 6 quintes, l'intervalle Si3 - Fa4 ne comportant que 6 demi-tons au lieu de 7 pour une quinte. Les notes formant ces intervalles doivent avoir des fréquences ayant un rapport idéal de 3/2.

Quinte Do3 - Sol3 : Sol3/Do3 = 396/264 = 1,5 = 3/2
Quinte Fa3 - Do4 : Do4/Fa3 = 528/352 = 1,5 = 3/2
Quinte Sol3 - Ré4 : Ré4/Sol3 = 594/396 = 1,5 = 3/2
Quinte Mi3 - Si3 : Si3/Mi3 = 495/330 = 1,5 = 3/2
Quinte La3 - Mi4 : Mi4/La3 = 660/440 = 1,5 = 3/2

Ces résultats ne sont pas surprenants, car ils résultent de la construction de la gamme. Si les 5 premières quintes ont bien un rapport idéal de fréquences, la dernière est légèrement dissonante, comme le montre le calcul ci-dessous.

Quinte Ré3 - La3 : La3/Ré3 = 440/297 = 1,48 3/2

La solution à ce problème est de tempérer la gamme, afin que le rapport de fréquences entre demi-tons soit constant. On construit ainsi une gamme appelée gamme chromatique car elle est constituée de 12 demi-tons.

 

Calcul du rapport entre les fréquences d'un demi-ton

Tempérer une gamme revient donc à modifier légèrement la fréquence des notes afin d'avoir un rapport constant entre demi-tons. Ainsi les rapports de fréquences suivants doivent être tous égaux :

Chacun de ces rapports est égal à une constante a, que l'on calcule en effectuant la multiplication de ces 12 rapports. On obtient ainsi :

La valeur de la constante a est la racine 12ème de 2, afin de conserver un rapport idéal de fréquences de 2 pour une octave.

a = 1 , 059 463

 

Fréquences des notes de la gamme tempérée

Le La est la seule note à conserver sa fréquence dans ce nouveau système, ainsi La3 = 440 Hz dans les deux gammes. Cette fréquence va servir de base de calcul pour toutes les autres notes.

Fréquence du Si3 : Si3/La3# x La3#/La3 = Si3/La3 = a2
Deux notes séparées d'un ton auront ainsi un rapport de fréquences de a2.
Si3 = a2 x La3 = (1,0595)2 x 440 = 493,9 Hz

Fréquence du Do4 : Do4/Si3 x Si3/La3 = Do4/La3 = a3
Deux notes séparées de 3 demi-tons auront ainsi un rapport de fréquences de a3.
Do4 = a3 x La3 = (1,0595)3 x 440 = 523,3 Hz

Pour les fréquences des autres notes, il suffit de remarquer que deux notes séparées de n demi-tons ont un rapport de fréquences de an.

Fréquence du Ré4 : Ré4/La3 = a5 (5 demi-tons)
Ré4 = a5 x La3 = (1,0595)5 x 440 = 587,3 Hz

Fréquence du Mi4 : Mi4/La3 = a7 (7 demi-tons)
Mi4 = a7 x La3 = (1,0595)7 x 440 = 659,3 Hz

Fréquence du Fa4 : Fa4/La3 = a8 (8 demi-tons)
Fa4 = a8 x La3 = (1,0595)8 x 440 = 698,5 Hz

Fréquence du Sol4 : Sol4/La3 = a10 (10 demi-tons)
Sol4 = a10 x La3 = (1,0595)10 x 440 = 784,0 Hz

Les fréquences des autres notes se calculent, soit en utilisant la relation entre le nombre de demi-tons et l'exposant n, soit le rapport entre deux notes formant une octave.

Toujours à l'aide d'un tableur, on obtient les résultats ci-dessous :

Do2

Ré2

Mi2

Fa2

Sol2

La2

Si2

Do3

Ré3

Mi3

Fa3

Sol3

La3

Si3

Do4

Ré4

Mi4

Fa4

Sol4

La4

Si4

130,8

146,8

164,8

174,6

196,0

220,0

246,9

261,6

293,7

329,6

349,2

392,0

440,0

493,9

523,3

587,3

659,3

698,5

784,0

880,0

987,8

Quelques définitions :

Chromatique :
(XIVe) lat. chromaticus; gr. khrôma « couleur, ton musical »
Qui procède par demi-tons consécutifs (opposé à diatonique). Les douze notes de la gamme chromatique. &endash; Demi-ton chromatique.

Demi-ton :
(1627) de demi- et ton
Mus. Le plus petit intervalle du système tempéré qui correspond à un douzième d'octave. Demi-ton diatonique, formé par deux notes portant des noms différents (ex. sol - la bémol). Demi-ton chromatique, formé par deux notes portant le même nom (ex. mi bémol - mi). Signe d'altération qui hausse (dièse), abaisse (bémol) une note d'un demi-ton. Des demi-tons.

Diatonique :
(XIVe) lat. diatonicus, gr. diatonikos, de dia « par » et tonos « ton »
Mus. Échelle, gamme diatonique : échelle naturelle, formée de tons et demi-tons qui se succèdent par degrés conjoints (opposé à chromatique). Demi-ton diatonique.

Fondamental :
(1721) Mus., acoust. Fréquence fondamentale : fréquence la plus basse fournie par un système vibrant.
Subst. Le fondamental : la vibration la plus grave à la fréquence fondamentale. Le fondamental et ses harmoniques.

Harmonique :
Acoust., mus. Vibration, son harmonique, ou n. un ou une harmonique : vibration, son dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. Deuxième, troisième harmonique, dont la fréquence est double, triple, etc., de celle du fondamental.
Spécialt Son obtenu en effleurant la corde d'un instrument au milieu, au tiers, etc., de sa longueur.

Octave :
(1534) Mus. Intervalle parfait de huit degrés de l'échelle diatonique (5 tons; 2 demi-tons diatoniques); intervalle de deux fréquences dont l'une est le double de l'autre. Octave augmentée (do &endash; do dièse), diminuée (do &endash; do bémol).
Huitième degré de l'échelle diatonique; note, son portant le même nom que la tonique et situé une octave plus haut (fréquence double, première harmonique).

Quinte :
(1372) subst. fém. de l'a. fr. quint « cinquième » (1080), cf. Charles-Quint; lat. quintus
Mus. Cinquième degré de la gamme diatonique. Intervalle de quinte, ou ellipt une quinte : intervalle de cinq degrés (ex. do-sol). Quinte juste : intervalle de trois tons et un demi-ton diatonique.

Ton :
(1578) Mus. Intervalle fondamental, qui s'exprime par le rapport des fréquences de 8 à 9 (ton majeur : do-ré; fa-sol) ou de 9 à 10 (ton mineur : ré-mi; la-si) et correspond à la seconde majeure (intervalle de la quarte à la quinte). Échelle musicale divisant l'octave en sept échelons (note) et procédant par tons et demi-tons (diatonique; gamme) ou en douze échelons tempérés (chromatique). Quart de ton. Par ext. Chaque degré de l'échelle diatonique.

 

Toutes ces définitions sont extraites du cédérom LE PETIT ROBERT édité par LiRiSinteractive.

Pour en savoir plus :

Quintes «fausses» du système tempéré

Afin d'apprécier les modifications apportées par le système tempéré, il suffit d'observer l'évolution des 6 quintes pouvant être construites avec les notes de la gamme en Do.
Les notes formant ces intervalles avaient des fréquences ayant un rapport idéal de 3/2 dans le système naturel. Dans le système tempéré ces rapports deviennent :

Quinte Do3 - Sol3 : Sol3/Do3 = 392,0/261,6 = 1,498
Quinte Fa3 - Do4 : Do4/Fa3 = 523,3/349,2 = 1,498
Quinte Sol3 - Ré4 : Ré4/Sol3 = 587,3/392,0 = 1,498
Quinte Mi3 - Si3 : Si3/Mi3 = 493,9/329,6 = 1,498
Quinte La3 - Mi4 : Mi4/La3 = 659,3/440 = 1,498
Quinte Ré3 - La3 : La3/Ré3 = 440/293,7 = 1,498

Comme le montre l'exemple des quintes, dans le système tempéré, tous les intervalles, bien que légèrement «erronés», sont les mêmes dans toutes les tonalités. Dans le système tempéré, tous les intervalles sont également justes (ou faux).

Dièses et bémols

De plus, dans le système tempéré on traite de manière simple le problème des dièses et des bémols. Si sur le clavier du piano les touches noires correspondent à la fois aux dièses et aux bémols, dans le système naturel un Sol dièse n'aura pas la même fréquence qu'un La bémol.

Pour calculer simplement les fréquences de ces deux notes altérées, il suffit de faire intervenir un autre intervalle appelé tierce majeure. Cet intervalle est celui existant entre la tonique Do et la médiante Mi, et comportant 4 demi-tons. Le rapport idéal d'une tierce majeur est Mi3/Do3 = 330/264 = 1,25 = 5/4.

Tierce majeure : Mi3 - Sol3# (4 demi-tons)
D'où Sol3# = 5/4 x Mi3 = 5/4 x 330 = 412,5 Hz

Tierce majeure : La3b - Do4 (4 demi-tons)
D'où La3b = 4/5 x Do4 = 4/5 x 528 = 422,4 Hz

Pour accorder un piano dans le système naturel, il faudrait donc doubler les touches noires.

Heureusement, dans la gamme tempérée, Sol dièse et La bémol sont représentés par la même touche noire, car ils ont la même fréquence.

Sol3# = Sol3 x a = 392 x 1,059463 = 415,3 Hz, et La3b = La3 / a = 440 / 1,059463 = 415,3 Hz !

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