Pour les métiers de la simulation numérique, la notion de maillage va au delà de la simple représentation géométrique de l’objet (triangle, quadrangle, tétraèdre par exemple) et par conséquent que la simple analyse de critères de forme ou de taille associés. En effet, aux entités du maillage (nœuds, éléments), le mécanicien (pour ne citer que cette discipline) associe des degrés de libertés, des fonctions de forme, des stratégies d’intégration, des matériaux, des sollicitations, des conditions aux limites entre autres. Les contraintes de respect de forme et de taille des éléments font bien entendu partie des préoccupations des mécaniciens.

Un des inconvénients de la méthode des éléments finis est que la qualité de la solution dépend fortement de la taille du maillage. Le schéma classique permettant d'assurer un contrôle à moindre coût en terme de degrés de liberté de la qualité de la solution du calcul par éléments finis est itératif. Un premier calcul est effectué sur un maillage grossier. Ce calcul permet d'obtenir en chaque élément du maillage initial un indicateur d'erreur global. Cette information est ensuite utilisée pour construire une nouvelle carte de taille à respecter. Le processus d'adaptation est répété tant que le seuil d'erreur imposé par l'utilisateur n'est pas respecté. Ces outils permettent d'une part d'améliorer la qualité de la solution et d'autre part d'optimiser le coût de l'analyse en ne réduisant la taille de maille qu'aux endroits nécessaires et l’augmentant éventuellement ailleurs.

L’adaptation de maillage suivant un critère d’erreur a posteriori est une application qui fait appel à des techniques de remaillage. D’autres applications imposent une phase de remaillage au cours du processus de simulation. Par exemple, dans le cadre de la simulation des procédés de mise en forme, de grandes déformations dans un contexte Lagrangien peuvent entraîner des distorsions importantes du maillage. Il est alors impératif de remailler pour pouvoir mener les calculs à leur terme.

Principe de la méthode

Nos recherches sur l'adaptation de maillage dans l'espace ont pour but d'adapter de concert un maillage en tétraèdres et son enveloppe suivant une carte de taille.

Ces travaux sont présentés en détail dans la référence [R1], complètent les recherches présentées içi.

Le point de départ de l'adaptation est un maillage initial en tétraèdres associé à une fonction de distribution de tailles donnée de façon discrète. L'adaptation du maillage volumique fait appel à une technique de découpage par bissection. L'adaptation de la surface utilise les concepts présentés précédemment.

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Les techniques d'adaptation de maillage suivant une méthode h par des outils de bissection d'arêtes ont fait l'objet de nombreuses publications. L'idée à retenir est que le découpage hiérarchique d'un maillage (surtout en dimension 3) peut entraîner des dégénérescences d'éléments. Les travaux de Rivara [131][132][133] sur les techniques de bissection suivant la plus grande longueur d'arête apportent des justifications théoriques et des informations précieuses à ceux qui souhaitent utiliser ces techniques. Par ailleurs, on trouvera une bibliographie exhaustive et les stratégies à suivre ainsi que des conseils d'implémentation dédiés au maillage en tétraèdres dans l'ouvrage de Löhner [111].

La plupart des auteurs se limitent à un certain nombre de patterns de découpage pour des impératifs de qualité, de conformité de maillage entre éléments adjacent mais aussi pour les difficultés d'implémentation. Nous avons choisi d'identifier toutes les configurations de remaillages possibles quand on découpe les arêtes d'un tétraèdre (239 configurations et donc autant de sous-maillages déterminés automatiquement par notre mailleur!). En outre, une technique de codage nous permet d'identifier de façon unique chaque pattern. A notre connaissance, ceci n'avait jamais été présenté.

Notre choix s'est porté sur cette technique pour les raisons suivantes : une fois que les arêtes à découper sont identifiées, chaque élément se voit attribuer un code de découpage et par conséquent un remaillage pré-programmé. Dès lors, l'étape d'adaptation est immédiate. Par ailleurs, nous pensons que quelle que soit la méthode (nombre de patterns limité ou non), une étape d'optimisation du maillage a posteriori s'impose.

Les avantages de cette approche peuvent se décliner ainsi :

· les nœuds peuvent glisser sur la surface en vue d'améliorer la qualité du maillage volumique,

· notre technique ne se limite pas au seul découpage du maillage mais permet aussi de "déraffiner" celui-ci,

· la méthode est robuste et très performante, ce qui autorise des remaillages locaux fréquents,

· les deux techniques (surface et volume) sont parfaitement intégrées.

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Exemples

Sur cet exemple, on part d'un maillage grossier. La carte de taille de maille est imposée le long de 3 cylindres fictifs d'axes orthogonaux et concourants.

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