La méthode générale pour le calcul des fonctions d'approximation est donnée par la relation ci-dessous :

      (1)

où 'i' et 'j' sont des indices de noeuds.

Cette relation s'interprète de la façon suivante : la fonction numéro 'i' vaut 1 sur le noeud 'i' et 0 sur les autres noeuds.

Le choix de l'ordre d'approximation des fonctions Ni dépend :
L'astuce consiste à considérer le triangle de Pascal sur lequel la projection de la topologie de l'élément permet de sélectionner de façon systématique les termes du polynôme à considérer (cf ci-dessous) :


Choix des fonctions d'approximation pour des éléments à 1 et 2 dimensions



Deux méthodes sont alors possibles pour déterminer les fonctions d'approximation:

  1. Le polynôme choisi, on détermine les coefficients des fonctions d'approximation nodales en posant le système d'équations obtenu à partir de (1).

  2. Autre méthode:
    1. Détermination de la base polynomiale complète <P>,
    2. Evaluation de la matrice nodale [Pn],
    3. Inversion de la matrice nodale [Pn],
    4. Obtention des fonctions Ni aux points 'x' considérés, d'après :   <Ni(x)>=<P(x)> [Pn]-1

Application pour un élément barre à 2 noeuds:

Méthode 1 :

Les deux fonctions d'approximation sont linéaires (deux noeuds) et prennent respectivement les formes  suivantes :



L'application de la relation (1) conduit aux deux systèmes suivants :



dont la résolution conduit à :


Méthode 2 :

  1. Base polynomiale complète extraite du triangle de Pascal : <P(x)> = <1  x>
  2. Evaluation de la matrice nodale aux noeuds de coordonnées 0 et L:  
  3. Inversion de [Pn] : 
  4. Calcul des <Ni> aux noeuds considérés :  

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