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					Principe Nous souhaitons d'une part déterminer localement une équation de surface pour positionner les nœuds du maillage raffiné sur la surface interpolée et contrôler le processus de "déraffinement" et d'autre part calculer en tout point les courbures afin de les relier à un estimateur d'erreur sur la géométrie dans un simple souci de ne pas dégrader le modèle géométrique.
	Le calcul des courbures principales d'une surface nécessite un paramétrage. Nous supposons qu'en chaque nœud de la surface discrétisée, il existe un voisinage sur lequel la surface peut être définie localement dans un repère orthonormal direct par une surface de Monge d'équation cartésienne z=f(x,y) où f désigne une fonction numérique de classe C2 sur un domaine plan. On cherche l'équation sous la forme d'une quadrique qui s'exprime dans le système de coordonnées locales par où a est un vecteur de 6 coefficients à déterminer. Haut de page

Construction d'un modèle géométrique local

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Au cours du processus d'adaptation de maillage, de nouveaux nœuds sont créés sur le modèle géométrique. De nombreuses requêtes sur le maillage initial sont alors effectuées afin de déterminer "la surface" sur laquelle on souhaite projeter le point. En premier lieu, il faut rappeler que le choix du support d'interpolation (un ensemble de points) dans une méthode de moindres carrés mobiles dépend de la position du point où l'on souhaite réaliser l'évaluation. De même, les coefficients de la surface varient de façon continue au fur et à mesure que l'on se déplace sur le maillage initial. En pratique et notamment dans le cadre de notre application de remaillage de surface, l'expérience montre que les opérations de projection d'un point sur un maillage peuvent s'accompagner d'erreurs numériques dues à l'ambiguïté de certaines configurations. La méthode que nous avons proposée permet de résoudre complètement les problèmes de projection sur un maillage. Les méthodes sans maillage apportent une solution souple, efficace et très robuste à ce genre de problème.

En pratique, le point que l'on souhaite positionner sur la géométrie reconstruite est le centre d'une arête du maillage. Le paramétrage de la surface de Monge d'équation cartésienne z=f(x,y) est défini dans un repère orthonormal direct. Plusieurs méthodes ont été proposées pour la détermination du repére local associé à la forme quadratique de la surface. Sans entrer dans les détails, il est en effet possible :

· de choisir un repère lié à la face la plus proche,

· de déterminer un repère au sens des moindres carrés en utilisant un support d'interpolation basé sur une recherche de plus proches voisins,

· enfin, d'utiliser l'approximation diffuse pour déterminer un plan dont les paramètres varient continûment au cours du déplacement du point sur le modèle. Cette approche permet d'éliminer les problèmes de projection.

Fonctions Poids

Toutes les grandeurs référencées par la suite sont exprimées dans le système de coordonnées locales. Pour chaque point d'évaluation x du plan de projection, on ne retient que les nœuds xi les plus proches. L'influence du nœud xi est réglée par les fonctions poids wi. Les fonctions poids sont des fonctions radiales qui décroissent avec la distance au point d'évaluation ainsi que le montre la Figure suivante. Notons qu'il faut au moins 6 points pour déterminer les coefficients.