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| Objectif
Notre approche permet de construire un maillage adapté d’une surface tridimensionnelle suivant une carte de taille à partir de la seule donnée d’un maillage initial (nœuds et connectivités) et d’un estimateur d’erreur. La construction du modèle géométrique repose sur le principe d’une interpolation diffuse locale de type Hermite s’appuyant sur les nœuds du maillage et sur les normales calculées aux nœuds. L'objectif est de déterminer une équation locale de surface afin de pouvoir positionner de nouveaux nœuds sur la surface. Le modèle diffus est exploité pour créer ensuite un nouveau maillage adapté au besoin de la simulation et suivant au mieux les variations de la géométrie. |
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| Le but de l'adaptation de maillage est de réduire ou d'augmenter de façon optimale la taille de maille afin de garantir une erreur de discrétisation inférieure à un seuil spécifié par l'utilisateur. Ces concepts peuvent être facilement intégrés à un logiciel d'analyse. Le remaillage fait appel à des procédures locales usuelles permettant d'enrichir ou de "déraffiner" le maillage. Le schéma représenté ci-après rappelle le principe de la méthode.
Le processus d'adaptation du maillage peut être d'une part piloté par des contraintes de la physique du problème et d'autre part par le respect de la géométrie. Les deux aspects sont d'ailleurs couplés. Dans le cadre de l'analyse du contact entre surfaces, la détermination de la zone de contact à partir de la géométrie reconstruite et non à partir du maillage permet d'améliorer la détermination des forces de contact par un calcul plus précis des grandeurs dérivées sur la surface [R4]. Lors du remaillage, la nouvelle discrétisation doit respecter les zones interface entre matériaux distincts, les nœuds, les lignes et surfaces nécessaires à la définition du problème d’analyse. Dans la mesure où l'on considère que le maillage initial vient de la CAO, nous avons considéré que les lignes et les points significatifs de la géométrie étaient présents sur le maillage initial. Ainsi, les arêtes vives, les points singuliers (sommet d'un cône par exemple) et les lignes de bords des surfaces apparaissent sous la forme de nœuds et d'arêtes. On suppose que le maillage initial, formé d'éléments triangles linéaires à 3 nœuds est conforme au sens éléments finis. En revanche, les arêtes peuvent être reliées à plusieurs faces (structures en T par exemple) et les topologies singulières dites non-eulériennes ont été traitées sans restriction. A l'issue du remaillage, la topologie résultante doit être fidèle à la topologie initiale. Ceci revient à dire que les arêtes vives du maillage et plus généralement les lignes représentatives de la géométrie doivent être prises en compte lors de la détermination du support d'interpolation. En d'autres termes, certains nœuds retenus sur un simple critère de proximité au cours du processus de détermination du voisinage d'un point d'évaluation doivent être éliminés du résultat de la recherche. La méthode utilisée consiste à détecter les arêtes vives et les points singuliers sur le maillage initial à l'aide de paramètres géométriques définis a priori par l'utilisateur (un angle entre faces, entre arêtes, un défaut d'angle).
Arêtes imposées En guise d'exemple, la Figure çi-dessus montre à gauche le maillage initial du coin d'un cube avec des congés de raccordement. La figure montre donc 3 faces planes délimitées par 3 portions cylindriques et au milieu une portion de sphère. Un simple examen sur des critères d'angle ne permet pas de déterminer certaines lignes caractéristiques de la géométrie et donc les frontières entre surfaces. Une méthode issue des travaux de thèse de Cédric Chappuis a permis de remailler en respectant les lignes caractéristiques de la géométrie ainsi que le montre la Figure de droite. Dès lors que l'on envisage de créer un nouveau modèle géométrique à partir d'un modèle existant, il est légitime de vouloir mesurer l'écart entre la géométrie exacte de la pièce et le modèle reconstitué. A titre d'exemple, un des problèmes auquel nous nous sommes confrontés est la réalisation d'un maillage composé d'un nombre minimal d'éléments et représentant au mieux l'objet (décimation). Afin d'évaluer une déformation représentative des variations géométriques de la surface réelle, nous avons utilisé un estimateur d'erreur géométrique [23] [134] obtenu par lissage du tenseur gradient de la transformation entre la configuration de référence d'une surface et sa configuration courante. L'erreur géométrique est obtenue par comparaison entre le soufflage libre d'un cylindre et celui d'un cylindre discrétisé. Cet estimateur basé sur la courbure fournit une relation entre la taille de maille locale souhaitée et le rayon de courbure calculé à partir du nouveau modèle géométrique. Dans le cadre d'une analyse par éléments finis auto-adaptative, la carte de taille est bien entendu le résultat d'une analyse a posteriori. En tout état de cause, les procédures d'optimisation du maillage sont indépendantes de l'indicateur d'erreur choisi. L'erreur d'un élément de taille L sur le cylindre de rayon R est donnée par
La Figure suivante montre des maillages surfaciques adaptés d'un réservoir à différents critères géométriques. L'utilisation d'une carte de taille basée sur le calcul du rayon de courbure minimal est un excellent moyen d'évaluer la qualité de nos résultats à la seule vue du maillage. |
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